【中学生の数学】中1・中2・中3の勉強はどうつながる？方程式・関数・図形から高校数学まで【山梨県甲府市飯田ライト学習塾】

山梨県甲府市飯田にあるライト学習塾の教室長です。

 

中学生のみなさんは、数学の勉強をしていて、

「中学1年生の頃はできていたのに、最近難しくなった」

「前に習った内容が分からないと、今の問題も解けない」

「今習っていることは、次の学年でも使うの？」

と感じたことはありませんか？

 

数学は、以前に学習した内容を使いながら、新しい内容を学んでいく教科です。

中学1年生では正負の数や文字式、一次方程式などを学習します。

中学2年生では連立方程式や一次関数、中学3年生では二次方程式や二次関数など、学年が上がるにつれて内容も複雑になっていきます。

しかし、それぞれがまったく別の勉強というわけではありません。

今回は、中学校3年間の数学がどのようにつながっているのかを、具体例を交えながら考えてみましょう。

 

■ 中学1年生　数学の基本となる計算と考え方を学ぶ

中学校に入学すると、教科の名前が「算数」から「数学」に変わります。

最初に学ぶ大きな内容の一つが、正負の数です。

小学校では、主に0以上の数を使って計算してきました。

中学校では、そこにマイナスの数が加わります。

例えば、

3－5＝－2

という計算です。

この正負の数は、その後の数学で何度も使うことになります。

また、文字を使った式も本格的に学びます。

小学校で□を使って表していた数量を、中学校では x や y などの文字を使って表します。

例えば、

x＋5＝12

という一次方程式では、

x＝7

と求めることができます。

このような文字式や方程式の考え方は、中学2年生や3年生の数学にもつながっていきます。

中学1年生の数学は、その後の学習を支える重要な土台になるのです。

 

■ 中学2年生　中1の知識を使って、より複雑な問題へ

中学2年生では、中学1年生で学んだ内容を使いながら、さらに発展した学習を進めます。

例えば、方程式です。

中学1年生では、主に一つの文字を含む一次方程式を学びます。

中学2年生では、二つの文字を含む連立方程式を学習します。

例えば、

x＋y＝10

x－y＝2

という2つの式から、x と y の値を求めます。

2つの式を加えると、

2x＝12

x＝6

となります。

これを x＋y＝10 に代入すると、

y＝4

と求められます。

この計算では、中学1年生で学んだ正負の数、文字式、一次方程式の知識を使っています。

つまり、連立方程式が分からない場合、連立方程式の解き方だけでなく、中学1年生の計算に原因があることも考えられます。

また、中学2年生では式の計算や一次関数、図形の証明なども学習します。

これらも、それまでの知識を土台にした内容です。

 

■ 中学3年生　これまでの学習がさらに発展する

中学3年生では、展開や因数分解、平方根、二次方程式、二次関数などを学習します。

例えば、二次方程式です。

中学1年生で学んだ一次方程式は、

x＋5＝12

のような形でした。

一方、中学3年生では、

x²－5x＋6＝0

のような方程式も解くようになります。

この式は因数分解を使うと、

(x－2)(x－3)＝0

となります。

したがって、

x＝2、3

と求められます。

この問題を解くためには、中学3年生で学ぶ因数分解の知識が必要です。

さらに、その因数分解を理解するためには、中学1・2年生で学んだ文字式の計算が土台になります。

このように、中学3年生の数学は、それまでに習った内容と深くつながっています。

高校入試に向けた復習でも、中学3年生の問題だけを解くのではなく、中学1・2年生の基本を確認することが大切です。

 

■ 方程式のつながり　一次方程式から二次方程式へ

ここまで学年ごとの内容を紹介しましたが、ここからは分野ごとのつながりを見ていきましょう。

まずは方程式です。

中学校3年間では、次のように学習が発展します。

中学1年生：一次方程式

x＋3＝8

中学2年生：連立方程式

x＋y＝8
x－y＝2

中学3年生：二次方程式

x²－5x＋6＝0

最初は一つの文字の値を求める問題から始まり、複数の文字を扱ったり、文字の2乗を含む式を扱ったりするようになります。

しかし、どの学年でも共通しているのは、式が表している関係を理解し、決まりに従って計算することです。

中学3年生で二次方程式が苦手になった場合には、因数分解だけでなく、中学1年生の一次方程式や文字式の計算が正確にできるかも確認してみましょう。

 

■ 関数のつながり　比例から一次関数、二次関数へ

次に、関数の学習です。

関数は、中学校3年間のつながりが特に分かりやすい分野です。

中学1年生では、比例や反比例を学びます。

比例の式は、

y＝2x

のように表せます。

中学2年生では、一次関数を学習します。

例えば、

y＝2x＋3

という式です。

中学1年生で学んだ比例の式と比べると、最後に「＋3」が加わっています。

この違いによって、グラフの位置や、x と y の関係の表し方も変わってきます。

そして中学3年生では、二次関数の一つである、

y＝2x²

のような関数を学びます。

一次関数のグラフは直線ですが、y＝ax² の形の関数では、グラフが曲線になります。

このように、

比例・反比例 → 一次関数 → 二次関数

と学習が発展していきます。

関数が苦手な場合には、式の計算だけでなく、座標の表し方やグラフの読み取り方など、中学1年生で学んだ基本を確認することも大切です。

 

■ 図形のつながり　性質を知ることから証明へ

図形の学習も、中学校3年間で発展していきます。

中学1年生では、基本的な図形の性質や、作図、空間図形などを学習します。

例えば、角の大きさや、直線と図形の位置関係、立体の表面積や体積などです。

中学2年生では、平行線と角の性質、三角形の合同条件、図形の証明などを学びます。

例えば、

「2つの三角形が合同であることを証明しなさい」

という問題です。

ここでは、図を見て形が同じように見えるから、という理由では十分ではありません。

対応する辺や角の関係を確認し、合同条件に当てはまることを順序立てて説明する必要があります。

中学3年生では、相似な図形や円の性質、三平方の定理などを学習します。

相似の学習では、中学2年生で学んだ合同や証明の考え方が役立ちます。

また、三平方の定理では、直角三角形の辺の長さの関係を使って計算します。

このように、図形の学習では、

図形の基本的な性質を知る → 性質を使って説明する → より複雑な図形の関係を考える

というつながりがあります。

 

■ 数の計算も、中学校3年間で発展していく

方程式や関数、図形だけでなく、数そのものの学習も発展していきます。

中学1年生では、正負の数を学習します。

中学2年生では、文字式を使った計算がさらに複雑になります。

そして中学3年生では、平方根を学習します。

例えば、

√2

という数です。

これは、2乗すると2になる正の数を表しています。

平方根を学ぶことで、それまでの整数や小数、分数だけでは正確に表しにくかった数も扱えるようになります。

また、平方根は、中学3年生で学ぶ三平方の定理や二次方程式などにも使われます。

中学校の計算では、新しい内容を学ぶたびに、それまでに習った計算の知識が必要になります。

だからこそ、正負の数や文字式の計算は、早い段階でしっかり身につけておきたい内容です。

 

■ 数学が苦手になったら、どこまで戻ればいい？

数学は、前の学年の学習内容が次の学年につながりやすい教科です。

そのため、今の学年の問題が解けないときには、以前に習った内容を確認することが大切です。

例えば、中学3年生で二次方程式が解けない場合。

まずは、因数分解ができるか確認します。

因数分解が苦手なら、展開の計算や文字式の基本を復習してみましょう。

また、中学2年生で一次関数が分からない場合には、中学1年生の比例や反比例、座標の表し方を確認してみましょう。

中学1年生で正負の数の計算が難しい場合には、小学校で学んだ整数や小数、分数の計算に戻る必要があるかもしれません。

大切なのは、何年生まで戻るかを最初から決めることではありません。

自分がどこから分からなくなったのかを見つけることです。

そして、必要なところを復習したら、もう一度今の学年の問題に挑戦してみましょう。

 

■ 数学では、途中式や考え方を書くことも大切

数学の問題を解くとき、答えだけを書いて終わらせていませんか？

もちろん、正しい答えを出すことは大切です。

しかし、問題が複雑になるほど、途中式や考え方を残しておくことも重要になります。

例えば、方程式を解くとき。

途中式を書いていれば、計算を間違えた場所を見つけやすくなります。

また、文章題では、何を x としたのか、どのような関係から式を作ったのかを整理することが役立ちます。

図形の証明では、なぜその結論が成り立つのかを、根拠を示しながら説明する必要があります。

つまり数学では、答えを求めるだけでなく、そこに至るまでの考え方を式や言葉で表す力も大切なのです。

これは、学年が上がって難しい問題に取り組むときにも役立ちます。

 

■ 中学校の数学は、高校でどうつながる？

中学校で学んだ数学は、高校でも使うことになります。

例えば、中学3年生で学ぶ二次関数は、高校の数学Ⅰでもさらに詳しく学習します。

中学校では主に、

y＝ax²

という形を扱いますが、高校では、

y＝ax²＋bx＋c

のような、より一般的な二次関数も学びます。

また、中学校で学ぶ展開や因数分解、平方根などの計算は、高校の数学でも必要になります。

図形についても、中学校で学んだ三角形や相似、三平方の定理などの知識が、高校で学ぶ三角比などにつながっていきます。

高校では新しい公式や考え方が増えますが、その土台となるのは中学校で学んだ内容です。

高校に進学してから数学で困らないためにも、中学校の基本をしっかり理解しておくことが大切です。

 

■ 中学校3年間の数学は、すべてつながっている

中学1年生では、正負の数や文字式、一次方程式など、数学の基本を学びます。

中学2年生では、その知識を使って、連立方程式や一次関数、図形の証明などを学びます。

中学3年生では、さらに発展して、平方根や二次方程式、二次関数、相似、三平方の定理などを学習します。

そして、その先には高校数学が待っています。

数学は、一つひとつの学習内容が積み重なっていく教科です。

そのため、今の学年で学んでいる内容を理解することが、次の学年の学習にもつながっていきます。

もし分からないところがあれば、無理に先へ進まず、必要なところまで戻ってみましょう。

そして、ただ解き方を覚えるだけでなく、なぜその計算になるのか、どのような考え方を使っているのかも確認してみてください。

今学んでいることは、次の学年、そして高校での学習につながっています。

一つひとつの内容を大切にしながら、数学の力を積み重ねていきましょう。

 

ライト学習塾教室長
吉矢武司